3-1 직접적분법

용어

• 변위 (Displacement): 위치가 달라지는 현상
• 변형 (Deformation): 형태가 변화하는 현상
• 처짐: 구조물이 아래로 늘어지는 현상

목적 (Euler–Bernoulli Beam)

• 미소변형: 처짐의 크기가 보 전체 길이에 비해 매우 작다.
• 평면유지: 변형 전에 평면인 임의의 보의 단면은 변형 후에도 평면이 유지된다.
• 수직 중립축: 변형 전에 중립축과 수직을 이루는 보의 단면은 변형 후에도 수직이다.

가정

구조물의 내력과 응력뿐만 아니라, 변형의 크기도 계산해야 한다.

부정정구조물 해석에서 변형을 이용하여 부정정력을 계산할 수 있다.

처짐 계산 방법:

• 기하학적 방법: 직접적분법, 모멘트면적법, 탄성하중법
• 에너지 방법: 단위하중법, Castigliano의 제2정리

1.1 곡률반경

• 다음의 Euler-Bernoulli 방정식은 부재력(\(M\))과 변형(\(y\))과의 관계를 나타낸다.
1. 외력(\(M\))을 알면, 곡률(\(y''\)) 또는 곡률반경(\(\rho\))을 구할 수 있으며,
2. 곡률(\(y''\))을 두 번 적분하여, 처짐(\(y\))을 구할 수 있다.

\[ EI y'' = -M, \quad EI \frac{1}{\rho} = -M \]

여기서

• \( y \) = 처짐
• \( y' = \frac{dy}{dx} \) = 기울기
• \( y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \kappa \) = 곡률
• \( \rho = \frac{1}{y''} = \frac{1}{\kappa} \) = 곡률반경

[Note]

\( M \)이 커질수록, \( \rho \)는 작아진다.

1.2 직접적분법

\[ EI y'' = -M \]

따라서

\[ y'' = -\frac{M}{EI} \]

이 식을 한 번 적분하면 기울기(\(y'\))에 관한 식을 얻을 수 있다.

\[ y' = - \int \frac{M}{EI} dx + C_1 \]

이 식을 다시 한 번 적분하면 변위(\(y\))에 관한 식을 얻을 수 있다.

\[ y = - \iint \frac{M}{EI} dx dx + C_1 x + C_2 \]

여기서 \( C_1 \)과 \( C_2 \)는 적분상수로서 보의 경계조건으로부터 구할 수 있다.

1.3 보의 처짐

외팔보

단순보

고정-롤러

양단고정보

1.4 온도하중에 의한 보의 처짐

온도 변화에 따른 보의 변형을 고려하여 처짐을 분석할 수 있다.